Baye's Rule & 失落的氫彈

1966年一月，一架B-52轟炸機在西班牙外海上空與一架加油機相撞，四顆氫彈沈入海底，其中三顆馬上被尋獲，但是第四顆怎麼找都找不到，當時主管核子武器的副國防部長傑克．霍華(Jack．Hayward)親自打電話要求美國海軍深海研究計畫的首席科學家約翰．P．克拉芬博士(John．P．Craven)主持搜尋行動的規畫。當時海軍相關人員大部分都認為不可能找得到該顆氫彈更遑論落入蘇聯手中的機會，但是詹森總統不願意冒任何可能的危險，堅持一定要找到，而唯一對這個任務有信心的人，大概只有克拉芬博士自己一人。
條件雖如此惡劣，克拉芬博士於接受任命後首先派出搜尋隊到失事的海域，自己則留在岸上協調搜尋的工作，嘗試推敲出氫彈可能的落點，指引搜尋隊集中搜尋。這真的是所謂大海撈針，他們唯一慶幸的是失事地點附近是大陸棚的一部分，水深約3,000英呎，還在小型的有人深海探測潛艇的作業範圍內，以當年的科技而言，這已是人類深潛的邊線。
接著他聘用了一批數學家，用數學模式建構失事地點的海圖。這還沒什麼，再下來他用了一個許多人都認為是發神經的作法：他請一批潛艇和打撈專家根據失事事件的描述和已知的水文資料，以這些專家的主觀判斷對可能的落點下賭注，就如同拉斯維加斯的賭場一樣，甚或還有獎品哪！等賭局完成，他所聘請的數學家把這些專家對各可能落點所下的賭注換算成機率並與海圖交叉計算，這聽起來像是天方夜譚，實際上他所使用的正是機率學上著名的貝氏定理(Bayes' Formula)（用以檢證各個「假設」的機率），藉由貝氏定理的轉換，推算出氫彈在各可能落點之機率。
但是比對他們所繪製出的氫彈落點「或然率」圖，多數高或然率落點均與其他三顆已被尋獲氫彈的位置以及機身大部分殘骸所在位置相差甚遠，這讓許多人不禁懷疑這樣的方法是否合理。但這個計算跟一個西班牙漁夫的目擊報告吻合，在沒有其他更好方案的情形下，海軍當局同意一試，派出兩艘小型深海潛艇仔細搜尋海圖上顯示為高機率的各個位置。
數個星期過去還是沒有結果，此時詹森總統實在忍耐不住要求立刻向他進行說明。海軍當局無奈之之下，只好把克拉芬博士的海圖加在報告中呈了上去，結果有如火上加油，在一陣雷霆大發之後詹森總統堅持要成立另一個搜尋團隊。結果許多康乃爾大學和麻省理工學院的學者專家被找來評估既有的搜尋方法是否正確；經過一整天的討論後，他們報告總統認為克拉芬博士的方法是任何人所能想到的最好方法。就在這批專家做完報告的同一天，那顆氫彈在水深2,550英呎處一個陡坡被找到了，位置正是克拉芬博士魔術海圖上所標示的高或然率落點之一。
貝氏定理(Bayes' Formula)
克拉芬博士用以解決上述問題的數學工具，就是條件機率中最常被使用的貝氏定理(Bayes' Formula)。簡單的說，所謂貝氏定理是指當有許多種條件可能導致Ｂ事件發生，如果我們限定Ｂ事件是在Ａ條件下才發生，這時貝氏定理即可讓我們求出，在Ａ條件下Ｂ事件發生之機率有多少！
讓我們依剛剛的說明再回顧一下克拉芬博士用以解決問題的數學方法，克拉芬博士首先收集失事區域的海象及洋流資料並繪成海圖，而這些資料就是上面所說導致核彈落點（B事件）的各種條件，接著他請了許多熟悉該區域海相的資深船長及潛水人員，依海圖資料及個人經驗案決定各條件（A事件）下核彈之落點，但為了避免因主觀意識造成機率偏差，特意以賭博形式請這些人下注，在完成賭局後克拉芬博士就可以將下注條件換算成各落點之可能機率，為了讓各位能更加理解貝氏定理之運用，特別以下面三個例子作為說明：
例一、失事分析：
飛機故障大致可分為四種：機身部位故障、引擎部位故障、航電部位故障、人為失誤。假設某型飛機故障發生機率與因故障導致墜機之機率如下表：

某日，本型飛機失事墜海原因不詳。試問墜海原因是因為引擎故障引起之機率是多少？
本題我們就可以運用貝氏定理來分析墜機是由引擎故障引起之機率，首先以A代表墜機事件、B代表機體部位故障事件、C代表引擎部位故障事件、D代表航電部位故障事件、E代表人為失誤事件，各事件之機率以P（）代表，如P（B）表機體部位故障之機率、P（A/B）表機體部位故障導致墜機的機率之機率，則我們可以重寫上表如下：

飛機失事墜海原因不詳，求因引擎故障引起之機率，即求飛機墜機是因引擎故障引起之機率故可表為P（B/A），則依貝氏定理可先求出墜機之總機率再除以引擎部位故障之機率，其式可寫出如下：

經由貝氏定理之運算，我們得知，引擎故障引起墜機之機率為 28.5﹪。
例二、故障分析（I）：
假設飛機引擎故障之機率為0.005，引擎故障是因FOD所造成之機率為0.8，是由機械因素造成之機率為0.16，假設兩者為獨立事件（即無關聯性），則FOD發生之機率為多少？機械問題發生之機率為又多少？
與例一相同，我們可以令P(A)為引擎故障之機率，則P(B/A)即表示引擎故障是因FOD所造成之機率，P(C/A)即表示引擎故障是因機械問題所造成之機率，又已知P(B|A)=0.8、P(C|A)=0.16且P(A)=0.005，故可得：
FOD之機率為
　　
同理
機械故障之機率為
　
比較結果可以發現FOD發生機率為機械故障之五倍，因此我們即須對FOD加強預防錯施，此即我們對故障進行分析之結果。
例三、故障分析（II）：
假設飛機引擎，因FOD而造成故障之機率為0.74，是機械因素所造成之機率為0.16，其他因素則為0.08。另外，因上述因素造成低壓扇葉損壞之機率分別為0.8、0.5及0.07。現在引擎發生故障且扇葉損壞，則故障是FOD所造成之機率為多少？
本題我們依然使用貝氏定理來分析，令A、B、C、D分別代表如下：

• 引擎故障事件為　　　　A
• 發生FOD事件為　　 　 B
• 機械故障事件為　　　　C
• 其他因素故障事件為　　D
• 扇葉損壞事件為　　　　E

故因FOD造成引擎故障且扇葉損壞之事件可表為
　　 　　



則
　　　　
經此分析可發現，當引擎發生故障且扇葉損壞，則故障是FOD所造成之機率高達 87.4%。在這個問題中我們已知特定事件在兩種不同條件下之機率，藉由貝氏定理找出該特定事件在兩種不同條件同時發生之機率。
由以上三個例子，我們發現運用貝氏定理，我們可以將平日統計分析或經驗所得之概率，經由機率轉換找出特定條件下事件發生機率之高低，並可藉由分析所得找出事先對應之道。
加入分佈特性的貝氏定理
由前段可知，貝氏定理在計算特定條件下之機率相當簡易，但在實際情況中，特定事件發生之條件並非固定，如每區域下雨之機率同時受到溼度、氣壓及溫度之影響，而溼度、氣壓及溫度之各別發生機率會有相互影響，在這樣的情形下我們只好採排列組合的方式，計算出個別之發生機率，再以貝氏定理求出下雨之機率。而這一過程我們就叫它為分佈特性的貝氏定理。
加入分佈特性的貝氏定理是貝氏定理的進一步延伸，這個方法主要在探討當數個條件機率與特定機率之關係。在此我們舉一個兵棋設定常見的例子，假設對一目標發射三枚飛彈且每枚飛彈擊中目標之機率均相同，則命中目標之情況，可分為三枚均脫靶、兩枚脫靶一枚擊中、一枚脫靶兩枚擊中與三枚同時擊中等四種情況。當目標命中率為我們的所求時，三枚均脫靶之情況屬於未擊中故可不予考慮，且飛彈命中之順序需扣除，則擊中機率之計算可表示如下：
設飛彈命中率為，則脫靶率可表為，再依命中情況分別計算如下：
一枚擊中兩枚脫靶
　　　　　
兩枚擊中一枚脫靶
　　　　　
三枚同時擊中
　　　　　
故目標命中率為
　　　　　
有趣的是，將上面之命中率展開，會發現等於，意即(1-R)3+3R(1-R)2+3R2(1-R)+R3=1，此符合命中率與未擊中之總機率為1，而式中之係數(1,3,3,1)亦符合二項式分佈，由此我們可以發現任意狀況下之發生機率分佈均與二項式係數有關，以下我們以兵棋推演中之防禦率作一說明：
例四、兵棋推演中之戰場存活性：
某型戰艦如受兩枚飛彈擊中即會沉沒，而戰艦上裝設的方陣快砲對飛彈的截殺率為90%。某日，敵軍對該艦進行飽和攻擊，同時發射五枚攻艦飛彈，試問該艦在遭此攻擊後，仍能浮於水面之機率有多少？
由題中知，方陣快砲對飛彈的截殺率為0.9(90%)，即攻艦飛彈突穿之機率為0.1(1-0.9)，而戰艦需受兩枚以上飛彈擊中才會沉沒，則飛彈命中戰艦且造成戰艦沉沒之機率可表為：

上式之 代表兩枚或兩枚以上之飛彈命中戰艦之組合，由上式我們可得到飛彈命中戰艦且造成戰艦沉沒之機率。相對於此，戰艦遭攻擊後仍浮於水面之機率，則可表為：

由上得知，戰艦在遭攻擊後仍能浮於水面之機率為92%，這即是含分佈特性的貝氏定理之運用。由此一例題及前面之說明，我們可了解，當事件發生之條件具排列特性時（如例題中飛彈之命中順序），我們需以組合計算方式去除重複之機率，如此才能得到特定條件下事件發生之機率。